Addizione e sottrazione di frazioni

Addizione di frazioni

Vediamo quali sono le operazioni da effettuare per sommare due frazioni qualsiasi \(\displaystyle \frac{a}{b}\) e \(\displaystyle \frac{c}{d}\).
Per prima cosa calcoliamo il minimo comune multiplo dei denominatori, chiamiamo il risultato x: \(x=mcm(b, d)\). Questo è il denominatore della frazione risultante, cominciamo a scriverlo:  \(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{}{x}\). Quindi dividiamo il minimo comune multiplo x per il primo denominatore e moltiplichiamo il risultato per il primo numeratore: \(\displaystyle x:b \times a\); scriviamolo al numeratore  \(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{x:b \times a}{x}\) aggiungiamo l’operazione \(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{x:b \times a +}{x}\).
Adesso ripetiamo le operazioni svolte sulla prima frazione anche sulla seconda. Dividiamo il minimo comune multiplo x per il secondo denominatore e moltiplichiamo il risultato per il secondo numeratore: \(\displaystyle x:d \times c\); scriviamolo al numeratore  \(\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{x:b \times a + x:d \times c}{x}\). Svolgiamo le operazioni a numeratore ed otteniamo il risultato cercato. Come ulteriore passo non necessario ma utile, verifichiamo che la frazione ottenuta sia ai minimi termini, se non lo è procediamo a semplificare la frazione.

Vediamo un esempio. Calcoliamo la seguente somma di frazioni: \(\displaystyle\frac{1}{6}+\frac{3}{4}\).
Procediamo per passi:

  1. Troviamo il massimo comune multiplo dei denominatori. \(\displaystyle mcm(6, 4)=12\);
  2. poniamolo a denominatore della frazione da ottenere: \(\displaystyle\frac{1}{6}+\frac{3}{4} = \frac{}{12}\);
  3. dividiamo il minimo comune multiplo ottenuto per il primo denominatore: \(\displaystyle 12:6=2\);
  4. moltiplichiamo il risultato per il primo numeratore: \(\displaystyle 2 \times 1 = 2\);
  5. scriviamo il risultato al numeratore della frazione da ottenere: \(\displaystyle\frac{1}{6}+\frac{3}{4} = \frac{2}{12}\);
  6. aggiungiamo l’operazione:  \(\displaystyle\frac{1}{6}+\frac{3}{4} = \frac{2 +}{12}\);
  7. dividiamo il minimo comune multiplo ottenuto per il secondo denominatore: \(\displaystyle 12:4=3\);
  8. moltiplichiamo il risultato per il secondo numeratore: \(\displaystyle 3 \times 3 = 9\);
  9. scriviamo il risultato al numeratore della frazione da ottenere, dopo l’operazione: \(\displaystyle\frac{1}{6}+\frac{3}{4} = \frac{2 + 9}{12}\);
  10. effettuiamo l’addizione a numeratore ed otteniamo il risultato cercato: \(\displaystyle\frac{1}{6}+\frac{3}{4} = \frac{11}{12}\);
La frazione ottenuta non è riducibile, infatti il numeratore (11) e il denominatore (12) non hanno divisori in comune, quindi il risultato è già ai minimi termini.

In caso di addizioni di più di due frazioni è conveniente sommare le frazioni due a due. Tuttavia è possibile sommare contemporaneamente quante frazioni si desidera. Il procedimento è lo stesso di quello per due frazioni. Per vedere come si procede facciamo un semplice esempio pratico.
Calcoliamo la seguente somma di frazioni: \(\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{10}\).
Procediamo per passi:
1) Troviamo il massimo comune multiplo dei denominatori. \(\displaystyle mcm(2, 4, 10)=20\);
2) poniamolo a denominatore della frazione da ottenere: \(\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{10} = \frac{}{20}\);
3) dividiamo il minimo comune multiplo ottenuto per il primo denominatore: \(\displaystyle 20:2=10\);
4) moltiplichiamo il risultato per il primo numeratore: \(\displaystyle 10 \times 1 = 10\);
5) scriviamo il risultato al numeratore della frazione da ottenere: \(\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{10} = \frac{10}{20}\);
6) aggiungiamo l’operazione: \(\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{10} = \frac{10 +}{20}\);
7) dividiamo il minimo comune multiplo ottenuto per il secondo denominatore: \(\displaystyle 20:4=5\);
8) moltiplichiamo il risultato per il secondo numeratore: \(\displaystyle 5 \times 3 = 15\);
9) scriviamo il risultato al numeratore della frazione da ottenere, dopo l’operazione: \(\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{10} = \frac{10 + 15}{20}\);
10) aggiungiamo l’operazione: \(\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{10} = \frac{10 + 15 +}{20}\);
11) dividiamo il minimo comune multiplo ottenuto per il terzo denominatore: \(\displaystyle 20:10=2\);
12) moltiplichiamo il risultato per il terzo numeratore: \(\displaystyle 2 \times 3 = 6\);
13) scriviamo il risultato al numeratore della frazione da ottenere, dopo l’operazione: \(\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{10} = \frac{10 + 15 + 6}{20}\);
14) effettuiamo le addizioni a numeratore ed otteniamo il risultato cercato: \(\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{10} = \frac{31}{20}\);
La frazione ottenuta non è riducibile, infatti anche in questo caso il numeratore (31) e il denominatore (20) non hanno divisori in comune, quindi il risultato è già ai minimi termini.

Sottrazione di frazioni

I passi da effettuare per sottrarre due o più frazioni qualsiasi sono identici a quelli da effettuare per l’addizione con l’unica differenza dell’operazione. Basta sostituire il meno (-) al più (+) negli esempi per l’addizione per ottenere il risultato di una sottrazione di frazioni. Per mostrarlo praticamente facciamo un esempio con tre frazioni.

Calcoliamo la seguente sottrazione di frazioni: \(\displaystyle\frac{7}{6}-\frac{2}{3}-\frac{3}{8}\).
Procediamo per passi:
1) Troviamo il massimo comune multiplo dei denominatori. \(\displaystyle mcm(6, 3, 8)=24\);
2) poniamolo a denominatore della frazione da ottenere: \(\displaystyle \frac{7}{6}-\frac{2}{3}-\frac{3}{8} = \frac{}{24}\);
3) dividiamo il minimo comune multiplo ottenuto per il primo denominatore: \(\displaystyle 24:6=4\);
4) moltiplichiamo il risultato per il primo numeratore: \(\displaystyle 4 \times 7 = 28\);
5) scriviamo il risultato al numeratore della frazione da ottenere: \(\displaystyle \frac{7}{6}-\frac{2}{3}-\frac{3}{8} = \frac{28}{24}\);
6) aggiungiamo l’operazione: \(\displaystyle \frac{7}{6}-\frac{2}{3}-\frac{3}{8} = \frac{28 -}{24}\);
7) dividiamo il minimo comune multiplo ottenuto per il secondo denominatore: \(\displaystyle 24:3=8\);
8) moltiplichiamo il risultato per il secondo numeratore: \(\displaystyle 8 \times 2 = 16\);
9) scriviamo il risultato al numeratore della frazione da ottenere, dopo l’operazione: \(\displaystyle \frac{7}{6}-\frac{2}{3}-\frac{3}{8} = \frac{28 - 16}{24}\);
10) aggiungiamo l’operazione: \(\displaystyle \frac{7}{6}-\frac{2}{3}-\frac{3}{8} = \frac{28 - 16 -}{24}\);
11) dividiamo il minimo comune multiplo ottenuto per il terzo denominatore: \(\displaystyle 24:8=3\);
12) moltiplichiamo il risultato per il terzo numeratore: \(\displaystyle 3 \times 3 = 9\);
13) scriviamo il risultato al numeratore della frazione da ottenere, dopo l’operazione: \(\displaystyle \frac{7}{6}-\frac{2}{3}-\frac{3}{8} = \frac{28 - 16 - 9}{24}\);
14) effettuiamo le addizioni a numeratore ed otteniamo il risultato cercato: \(\displaystyle \frac{7}{6}-\frac{2}{3}-\frac{3}{8} = \frac{3}{24}\);
La frazione ottenuta è riducibile, infatti in questo caso sia il numeratore (3) che il denominatore (24) sono divisibili per 3.
Semplificando otteniamo che il risultato finale è \(\displaystyle \frac{7}{6}-\frac{2}{3}-\frac{3}{8} = \frac{1}{8}\).

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