Le frazioni

Una parte dell’argomento è stato tratto da wikipedia.it:

Definizione di frazione

Una frazione (dal latino fractus, spezzato, infranto), secondo la definizione classica propria dell'aritmetica, è un modo per esprimere una quantità basandosi sulla divisione di un oggetto in un certo numero di parti della stessa dimensione. Ad esempio, se si taglia un cerchio in quattro parti uguali, ciascuna di esse è detta un quarto di cerchio (rappresentata con o con 1⁄4; quest'ultima forma non è utilizzata nei calcoli matematici in quanto poco pratica); due quarti sono mezzo cerchio, e otto quarti formano due cerchi.

Un quarto di cerchio Due quarti di cerchio Tre quarti di cerchio Quattro quarti di cerchio
Un quarto di cerchio Due quarti di cerchio Tre quarti di cerchio Quattro quarti di cerchio ovvero un cerchio intero
Un quarto di cerchio Due quarti di cerchio
Cinque quarti di cerchio ovvero un cerchio e un quarto Sei quarti di cerchio ovvero un cerchio e mezzo
Tre quarti di cerchio Quattro quarti di cerchio
Sette quarti di cerchio ovvero un cerchio e tre quarti Otto quarti di cerchio ovvero due cerchi

Una frazione è un ente matematico che rappresenta il rapporto di due numeri interi. I due numeri interi vengono separati da un trattino, detto linea di frazione, che può essere orizzontale, come in questi esempi: , , oppure diagonale come 1/2, 3/4, 5/8.
Si chiama Insieme dei Numeri Razionali, e si indica con ℚ, l'insieme il cui generico membro è una frazione.

Nell'esempio delle fette di cerchio di cui sopra, nella rappresentazione numerica come 1⁄4 il numero in basso e/o a destra del trattino diagonale, detto denominatore, indica il numero totale di parti uguali in cui è diviso il cerchio, e il numero in alto e/o a sinistra, il numeratore, è il numero di parti che è stato preso. I due termini hanno un'origine dal latino.

È importante ricordare che la moltiplicazione gode della proprietà commutativa, il che significa semplicemente che l'ordine dei fattori non conta, e che tre volte un quarto è uguale a un quarto di tre; numericamente: .

Tipi di frazioni

Una frazione può essere:

  • ridotta ai minimi termini – o irriducibile – se il numeratore e il denominatore sono numeri primi fra loro (cioè il loro M.C.D. è 1);
  • propria se il numeratore è minore del denominatore;
  • impropria se il numeratore è maggiore o uguale del denominatore;
  • apparente se il numeratore è multiplo del denominatore o uguale ad esso;
  • unitaria se ha numeratore 1;
  • decimale se il denominatore è una potenza di 10. Le frazioni decimali rappresentano tutti i numeri esprimibili con una quantità finita di cifre in base dieci.
  • diadica se il denominatore è una potenza di due

Inoltre si chiama frazione egizia la scrittura di un numero razionale come somma di frazioni unitarie.

Il termine "frazione" è usato per descrivere anche altri enti matematici. Si può ad esempio sentire parlare di frazione mista o numero misto: si tratta di un numero composto da una parte intera più una frazione propria, rappresentato con la seguente notazione:
essendo a, b, c dei numeri interi con b < c come ad esempio in .

Nei paesi di tradizione anglosassone, spesso associata a unità di misura consuetudinarie (ad esempio i diametri nominali dei tubi espressi in pollici), si usa spesso una notazione diversa che omette il "+" e giustappone la frazione all'intero:
oppure quindi ad esempio oppure .
Quest'ultima notazione spesso si trovava sulle calcolatrici elettroniche.

Per passare dalla rappresentazione come numero misto ad una frazione impropria si procede sommando le due frazioni come consueto (per i particolari vedi La somma di frazioni, di prossima pubblicazione), tenendo in mente che qualsiasi Numero Intero può essere rappresentato come una frazione con denominatore 1:
.

Se invece si parte da una frazione impropria del tipo , ad esempio: si procede così per calcolare il numero misto:
Si esegue la divisione euclidea (la divisione classica, per i particolari vedi l'articolo su wikipedia) a:b. Se indichiamo con q il quoziente e con r il resto, allora il numero misto è .
Nel caso dell'esempio, q=4, r=2 e la rappresentazione in numero misto è .

Tipo di numero decimale generato da una frazione

Sia data una frazione ai minimi termini (cioè con a e b numeri interi senza divisori comuni). Allora, se il denominatore b ha solo 2 o 5 come divisori primi, la divisione corrisponde a un numero decimale finito. Altrimenti, se b ha qualche divisore primo diverso da 2 o 5, corrisponde a un numero decimale periodico.
Esempio. La frazione ha come denominatore , che ha come divisore primo solo 5. Quindi corrisponde a un decimale finito.
Invece ha come denominatore 14=2×7, quindi 2 e 7 sono i suoi due divisori primi, allora corrisponde a un decimale periodico.

Confronto di frazioni

Si possono confrontare tra di loro numeri in forma di frazione nel modo seguente:

  • Frazioni con lo stesso denominatore. Essendo parti uguali della medesima suddivisione di un intero è maggiore la frazione che ha il numeratore maggiore (più parti uguali prese in considerazione).
  • Frazioni con lo stesso numeratore. Essendo prese in considerazione, in questo caso, le medesime parti uguali, suddivisione di un intero, sarà maggiore la frazione che ha il denominatore minore (a parità di parti sicuramente risultano parti maggiori se la divisione è stata fatta in minor parti uguali).
  • Frazioni con numeratore e denominatore diversi.
    • Un confronto tra due frazioni potrà essere immediato se si confronta una frazione propria (minore di 1) e una impropria (maggiore o uguale a 1). Chiaramente la frazione impropria è più grande di quella propria.
    • Negli altri casi dovendo confrontare più frazioni, conviene ridurle tutte al medesimo denominatore, facendo cioè riferimento a parti della stessa dimensione. Questo si ottiene trovando il minimo comune multiplo (mcm) dei denominatori e rappresentando le due frazioni come frazioni con il mcm come nuovo denominatore. Ad esempio: dovendo confrontare e , si trova il mcm(12,26)=156; si rappresentano le due frazioni come frazioni con denominatore il mcm: , .
      A questo punto basta confrontare i numeratori. La frazione con il numeratore più grande è la frazione più grande: 143 è maggiore di 138, quindi è maggiore di .
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