Le frazioni: la riduzione ai minimi termini

Una frazione ai minimi termini o irriducibile è una frazione i cui elementi (numeratore e denominatore) non hanno divisori comuni oltre all'unità (due numeri che non hanno divisori in comune tranne l'1 si dicono coprimi). Una frazione irriducibile è anche la forma canonica in cui si è soliti esprimere matematicamente un numero razionale in notazione frazionaria. Ad esempio e rappresentano lo stesso valore frazionario, la prima frazione è espressa ai minimi termini, la seconda no; altro esempio e anche qui la prima è espressa ai minimi termini, la seconda no. Notate che nel secondo esempio la frazione ai minimi termini ha come numeratore e denominatore due numeri non primi ma, poiché i due numeri non hanno divisori in comune (l'8 è divisibile solo per 2 mentre il 9 è divisibile solo per 3) sono primi tra loro, quindi la frazione è ai minimi termini.

Per rappresentare una frazione ai minimi termini si utilizza il Massimo Comun Divisore (MCD). Il Massimo Comun Divisore, infatti, rappresenta il numero più grande capace di dividere sia il numeratore che il denominatore. Una volta trovato il Massimo Comun Divisore del numeratore e del denominatore è sufficiente utilizzarlo per divederli entrambi. In formule: se a e b sono rispettivamente il numeratore ed il denominatore della frazione da semplificare e a' e b' sono il numeratore ed il denominatore della frazione ai minimi termini si ha che:

o se preferite:

che è lo stesso.
Notate una cosa importante: dire che a/b è uguale a a'/b' non è la stessa cosa che dire che a/b è identico a a'/b'!
Per chiarire la cosa facciamo riferimento all'esempio pratico:  = ; l'uguaglianza tra le due frazioni indica che la quantità complessiva che le due frazioni rappresentano è la stessa, una metà, ma, mentre nel primo caso abbiamo che la torta (ad esempio) è stata divisa in due ed è stata presa una fetta, nel secondo caso la torta è stata divisa in sei fette e ne sono state prese tre.

Svolgiamo adesso gli esempi sopra riportati passo per passo.

Cominciamo con il primo esempio:

  • Passo 1) trovare il Massimo Comun Divisore del numeratore e del denominatore:
    MCD(3, 6)=3;
  • Passo 2) dividere il numeratore (3) per il MCD:
    3:MCD(3, 6)=3:3=1;
  • Passo 3) dividere il denominatore (6) per il MCD:
    6:MCD(3, 6)=6:3=2;
  • Passo 4) la frazione 3/6 espressa ai suoi minimi termini è:


Passiamo al secondo esempio:
  • Passo 1) trovare il Massimo Comun Divisore del numeratore e del denominatore:
    MCD(32, 36)=4;
  • Passo 2) dividere il numeratore (32) per il MCD:
    32:MCD(32, 36)=32:4=8;
  • Passo 3) dividere il denominatore (36) per il MCD:
    36:MCD(32, 36)=36:4=9;
  • Passo 4) la frazione 32/36 espressa ai suoi minimi termini è:

Naturalmente i passi 2 e 3 possono essere invertiti.

Per informazioni, consigli od altro scriveteci :-)!