Esercizi svolti: l'addizione di numeri interi

Contrariamente all'addizione di numeri naturali, l'addizione di numeri interi presenta alcune difficoltà. Come vedremo tra poco e nella pagina dedicata alle sottrazioni, l'addizione e la sottrazione di numeri interi si mescolano tra loro.
Cominciamo con il ricordare che c'è una grande differenza tra il significato che ha il simbolo che indica un'operazione, come quello dell'addizione (+) o della sottrazione (-), ed il significato che ha il simbolo che indica il segno di un numero anche se si utilizzano gli stessi simboli per l'addizione ed il segno positivo, e la sottrazione ed il segno negativo.
L'addizione è una operazione binaria, cioè opera tra due numeri ed il simbolo + rappresenta il rispettivo operatore binario, ad esempio: 2+3; al contrario, il segno che indica che un numero è positivo, indicato con lo stesso simbolo +, rappresenta quello che si chiama un operatore unario, cioè un operatore che agisce su un solo numero, ad esempio: +3. Questo può indurre a fare confusione; si risolve il problema inserendo il numero con il suo segno dentro parentesi tonde ogni qualvolta ci sia un tale rischio. Ad esempio se scriviamo: 2+3, intendiamo la somma di 2 e 3, mentre se vogliamo indicare la moltiplicazione dei numeri 2 e 3, volendo risaltare il fatto che il 3 è positivo, scriveremo: 2(+3) (dove, come si usa spesso quando non c'è rischio di confusione, abbiamo omesso il segno di moltiplicazione). Facciamo qualche altro esempio: -2+3 indica la somma di -2 e 3 (dato che il - agisce solo sul 2!) che può essere scritto più chiaramente: (-2)+3; 2+(-3) indica la somma di 2 e -3 (notate che in questo caso non si possono omettere le parentesi!); -2+(-3) indica la somma di -2 e -3 che può essere scritto più chiaramente: (-2)+(-3).
L'addizione dei numeri interi gode, come quella dei numeri naturali, della proprietà commutativa. Questo è proprio uno dei casi in cui la differenza tra segno ed operazione può portare ad errori! Facciamo alcuni esempî: se vogliamo applicare la proprietà commutativa sull'addizione -2+3 non possiamo farlo così!: -2+3=-3+2, infatti il - davanti al 2 rappresenta il segno del numero 2; riscrivendo l'addizione utilizzando le parentesi per evidenziare il numero con il suo segno otterremo facilmente il risultato corretto: (-2)+3=3+(-2).
Facciamo un altro esempio più complesso: 4-2+3; in questo caso il - davanti al 2 rappresenta l'operazione di sottrazione, se vogliamo applicare la proprietà commutativa sull'addizione non possiamo procedere come nell'esempio precedente. Per applicare la proprietà commutativa sull'addizione dobbiamo prima fare uso della proprietà, studiata nella teoria, che ci dice che 2+(-3)=2-3 (ricordate che, essendoci l'uguale, l'espressione vale in entrambi i sensi, cioè: 2-3=2+(-3)) e della proprietà associativa dell'addizione. Riscriviamo l'espressione come: 4-2+3=4+(-2)+3; adesso possiamo applicare la proprietà associativa: 4+(-2)+3=4+[(-2)+3], quindi quella commutativa: 4+(-2)+3=4+[(-2)+3]=4+[3+(-2)] e di nuovo quella associativa: 4+(-2)+3=4+[(-2)+3]=4+[3+(-2)]=4+3+(-2)=4+3-2.
Per effettuare l'addizione di numeri interi si utilizza lo stesso procedimento utilizzato per l'addizione e la sottrazione di numeri naturali a cui viene riportata utilizzando le proprietà dei numeri interi. Si verificano quattro casi che vengono analizzati qui di seguito.
Considereremo i casi generali dove utilizzeremo i simboli a e b per indicare due numeri positivi generici (in linguaggio matematico: ∀ a, b ∈ ℵ0), seguiti da esempî:
  1. a+b; cioè entrambi i numeri da sommare sono positivi o nulli (0). L'addizione si effettua esattamente come per i numeri naturali.
    Esempio: 2+3=5.
  2. a+(-b); cioè il primo addendo è positivo ed il secondo negativo. Si divide in due sottocasi:
    1. a ≥ b (a è maggiore o uguale a b); l'addizione è equivalente alla sottrazione a-b (a+(-b)= a-b) di numeri naturali.
      Esempio: 3+(-2)=3-2=1;
    2. a < b (a è minore di b); per effettuare l'addizione sfruttiamo la proprietà: a-b=-(b-a). l'addizione è equivalente alla sottrazione b-a cambiata di segno, cioè si effettua la sottrazione di numeri naturali b-a ed al risultato si antepone il segno -.
      Esempio: 2+(-3)=2-3=-(3-2)=-(1)=-1.
  3. -a+b; cioè il primo addendo è negativo ed il secondo positivo. È simile al precedente, anche questo caso si divide in due sottocasi:
    1. a ≥ b (a è maggiore o uguale a b); per effettuare l'addizione sfruttiamo la proprietà: -a+b=-(a-b). L'addizione è equivalente alla sottrazione a-b cambiata di segno, cioè si effettua la sottrazione di numeri naturali a-b ed al risultato si antepone il segno -.
      Esempio: -3+2=-(3-2)=-(1)=-1;
    2. a < b (a è minore di b); l'addizione è equivalente alla sottrazione b-a ((-a)+b= b+(-a)=b-a) di numeri naturali.
      Esempio: -2+3=(-2)+3=3+(-2)=3-2=1.
  4. -a+(-b); cioè entrambi i numeri da sommare sono negativi. Per effettuare l'addizione sfruttiamo la proprietà: -a+(-b)=-(a+b). L'addizione è equivalente all'addizione a+b cambiata di segno, cioè si effettua l'addizione di numeri naturali a+b ed al risultato si antepone il segno -.
    Esempio: -3+(-2)=-(3+2)=-(5)=-5.
Notate che se gli addendi hanno lo stesso segno l'addizione di numeri interi si riduce, segno a parte, all'addizione di numeri naturali mentre se gli addendi hanno segni opposti (diversi) l'addizione di numeri interi si riduce, sempre segno a parte, alla sottrazione di numeri naturali.

Per approfondire visitate la pagina dedicata all'addizione dei numeri naturali e quella dedicata alla sottrazione dei numeri naturali.

Nelle pagine seguenti sono presentati una serie di esercizi sulle addizioni in forma di espressioni.

Ricordiamo a chi vuole esercitarsi nella risoluzione delle espressioni che le regole basi sono: se l'espressione è:

addizioni_interi_espressione_000001_soluzione_passo0

1) togliere le parentesi tonde dai numeri negativi, tendo conto delle operazioni a cui sono soggetti;

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2) risolvere le operazioni all'interno delle parentesi tonde;

addizioni_interi_espressione_000001_soluzione_passo3

3) eliminare le parentesi tonde tenendo conto dei segni (in questo caso specifico essendoci anche i numeri negativi l'operazione non è più così banale);

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4) risolvere le operazioni all'interno delle parentesi quadrate;

addizioni_interi_espressione_000001_soluzione_passo5

5) eliminare le parentesi quadrate tenendo conto dei segni (stesse considerazioni del punto 3);

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6) ripetere i passi 2) e 3) anche per le parentesi graffe;

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7) risolvere le operazioni rimaste in cui non compaiono più parentesi ed ottenere il risultato finale.

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