I Numeri Interi

I numeri interi (o numeri interi relativi o, semplicemente, numeri relativi) sono formati dall'unione
dei numeri naturali (0, 1, 2, ...) e dei numeri negativi (−1, −2, −3,...), costruiti ponendo un segno “−” davanti ai naturali positivi. L'insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con Z o ℤ, perché è la lettera iniziale di “Zahl” che in tedesco significa numero.
Gli interi vengono quindi definiti come l'insieme dei numeri che sono il risultato tra sottrazioni di numeri naturali.
I numeri interi possono essere sommati, sottratti e moltiplicati e il risultato rimane un numero intero. L'inverso di un numero intero non è però un intero in generale, ma un numero razionale: i matematici esprimono questo fatto dicendo che Z è un anello commutativo ma non un campo.

Proprietà algebriche

Come i numeri naturali, Z è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e di moltiplicazione, cioè la somma o il prodotto di due interi è un intero. Inoltre, con l'inclusione dei numeri naturali negativi e dello zero, Z (a differenza dei numeri naturali) è chiuso anche rispetto all'operazione di sottrazione: se a e b sono interi, anche a − b lo è. Tuttavia, Z non è chiuso sotto l'operazione di divisione, poiché il quoziente di due interi (per esempio 1/2) non è necessariamente un numero intero.
La tabella seguente elenca alcune delle proprietà di base dell'addizione, della sottrazione e della moltiplicazione per ogni intero a, b e c.
addizionesottrazionemoltiplicazione
chiusura:a + b è un interoa - b è un interoa × b è un intero
proprietà associativa:a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + ca × (b × c) = (a × b) × c
proprietà commutativa:a + b = b + a a × b = b × a
proprietà anti-commutativa:a - b = -(b - a)
esistenza dell'elemento neutro:a + 0 = aa - 0 = a a × 1 = a
esistenza dell'elemento opposto:a + (−a) = 0
proprietà distributiva:a × (b ± c) = (a × b) ± (a × c)
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