Esercizi svolti: la sottrazione di numeri interi

Come per l'addizione di numeri interi, anche la sottrazione di numeri interi presenta alcune difficoltà in più rispetto alla sottrazione di numeri naturali. Come abbiamo già visto nella pagina dedicata alle addizioni, le operazioni di addizione e sottrazione di numeri interi si mescolano tra loro.
Ricordiamo anche qui che c'è una grande differenza tra il significato che ha il simbolo che indica un'operazione, come quello dell'addizione (+) o della sottrazione (-), ed il significato che ha il simbolo che indica il segno di un numero anche se si utilizzano gli stessi simboli per l'addizione ed il segno positivo, e la sottrazione ed il segno negativo.
La sottrazione è una operazione binaria, cioè opera tra due numeri ed il simbolo - rappresenta il rispettivo operatore binario, ad esempio: 2-3; al contrario, il segno che indica che un numero è negativo, indicato con lo stesso simbolo -, rappresenta quello che si chiama un operatore unario, cioè un operatore che agisce su un solo numero, ad esempio: -3. Questo può indurre a fare confusione; si risolve il problema inserendo il numero con il suo segno dentro parentesi tonde ogni qualvolta ci sia un tale rischio. Ad esempio se scriviamo: 2-3, intendiamo la sottrazione di 3 da 2, mentre se vogliamo indicare la moltiplicazione dei numeri 2 e -3 (contrariamente al caso della moltiplicazione dei numeri 2 e +3 che può essere scritto anche 2(3), omettendo il segno, in questo caso mettere il segno è obbligatorio) scriveremo: 2(-3) (dove, come si usa spesso quando non c'è rischio di confusione, abbiamo omesso il segno di moltiplicazione). Facciamo qualche altro esempio: -2-3 indica la sottrazione di 3 da -2 (dato che il primo - agisce solo sul 2 rappresenta il segno e non l'operazione!) che può essere scritto più chiaramente: (-2)-3; 2-(-3) indica la sottrazione di -3 da 2; -2-(-3) indica la sottrazione di -3 da -2 che può essere scritto più chiaramente: (-2)-(-3).
La sottrazione di numeri interi, al contrario dell'addizione dei numeri interi, non gode della proprietà commutativa. Se volessimo scambiare di posto il 2 ed il 3 nell'espressione 2-3 dobbiamo trasformare la sottrazione in addizione utilizzando la proprietà, studiata nella teoria, che ci dice che 2-3=2+(-3) (notate che abbiamo usato questa relazione nell'addizione di numeri interi nel senso inverso! Ricordate che, essendoci l'uguale, l'espressione vale in entrambi i sensi).
Facciamo un altro esempio più complesso: 3+4-2; in questo caso il - davanti al 2 rappresenta l'operazione di sottrazione, se vogliamo scambiare di posto il 2 ed il 4, riscriviamo l'espressione come: 3+4-2=3+4+(-2); adesso possiamo applicare la proprietà associativa: 3+4+(-2)=3+[4+(-2)], quindi quella commutativa: 3+4+(-2)=3+[4+(-2)]=3+[(-2)+4] e di nuovo quella associativa: 3+4+(-2)=3+[4+(-2)]=3+[(-2)+4]=3+(-2)+4=3-2+4.
Per effettuare la sottrazione di numeri interi si utilizza lo stesso procedimento utilizzato per l'addizione e la sottrazione di numeri naturali a cui viene riportata utilizzando le proprietà dei numeri interi. Si verificano quattro casi che vengono analizzati qui di seguito.
Considereremo i casi generali dove utilizzeremo i simboli a e b per indicare due numeri positivi generici (in linguaggio matematico: ∀ a, b ∈ ℵ0), seguiti da esempî:
  1. a-b; cioè sia il minuendo è che il sottraendo sono positivi. Si divide in due sottocasi:
    1. a ≥ b (a è maggiore o uguale a b); la sottrazione è equivalente alla sottrazione a-b di numeri naturali.
      Esempio: 3-2=1;
    2. a < b (a è minore di b); per effettuare la sottrazione sfruttiamo la proprietà: a-b=-(b-a). la sottrazione è equivalente alla sottrazione b-a cambiata di segno, cioè si effettua la sottrazione di numeri naturali b-a ed al risultato si antepone il segno -.
      Esempio: 2-3=-(3-2)=-(1)=-1.
  2. a-(-b); cioè il minuendo è positivo ed il sottraendo negativo. Per la proprietà già vista diventa a-(-b)=a+b; cioè un'addizione di numeri positivi o nulli (0). L'addizione si effettua esattamente come per i numeri naturali.
    Esempio: 2-(-3)=2+3=5.
  3. -a-b; cioè il minuendo è negativo ed il sottraendo positivo. Per effettuare la sottrazione sfruttiamo la proprietà: -a-b=-(a+b). La sottrazione è equivalente all'addizione a+b cambiata di segno, cioè si effettua l'addizione di numeri naturali a+b ed al risultato si antepone il segno -.
    Esempio: -3-2=-(3+2)=-(5)=-5.
  4. -a-(-b); cioè entrambi i numeri da sommare sono negativi. Questo caso si divide in due sottocasi:
    1. a ≥ b (a è maggiore o uguale a b); per effettuare la sottrazione sfruttiamo la proprietà: -a-(-b)=-a+b=-(a-b). la sottrazione è equivalente alla sottrazione a-b cambiata di segno, cioè si effettua la sottrazione di numeri naturali a-b ed al risultato si antepone il segno -.
      Esempio: -3-(-2)=-3+2=-(3-2)=-(1)=-1;
    2. a < b (a è minore di b); la sottrazione è equivalente alla sottrazione b-a (-a-(-b)=-a+b=b-a) di numeri naturali.
      Esempio: -2-(-3)=-2+3=(-2)+3=3+(-2)=3-2=1.
Notate che se minuendo e sottraendo hanno lo stesso segno l'addizione di numeri interi si riduce, segno a parte, alla sottrazione di numeri naturali mentre se minuendo e sottraendo hanno segni opposti (diversi) la sottrazione di numeri interi si riduce, sempre segno a parte, all'addizione di numeri naturali.

Per approfondire visitate la pagina dedicata all'addizione dei numeri naturali e quella dedicata alla sottrazione dei numeri naturali.

Nelle pagine seguenti sono presentati una serie di esercizi sulle sottrazioni in forma di espressioni.

Contrariamente al caso della semplice addizione, nel caso della presenza di sottrazioni la risoluzione non è più banale. Bisogna fare attenzione alla presenza sia dell'operazione sottrazione (indicata con -) che del segno (anch'essa indicata col -). Nonostante siano indicati con lo stesso simbolo non sono la stessa cosa!
Ricordiamo a chi vuole esercitarsi nella risoluzione delle espressioni che le regole basi sono: se l'espressione è:

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1) togliere le parentesi tonde dai numeri negativi, tendo conto delle operazioni a cui sono soggetti;

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2) risolvere le operazioni all'interno delle parentesi tonde;

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3) eliminare le parentesi tonde tenendo conto dei segni (in questo caso specifico essendoci anche i numeri negativi l'operazione no è più così banale);

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4) risolvere le operazioni all'interno delle parentesi quadrate;

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5) eliminare le parentesi quadrate tenendo conto dei segni (stesse considerazioni del punto 3);

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6) ripetere i passi 2) e 3) anche per le parentesi graffe;

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7) risolvere le operazioni rimaste in cui non compaiono piĆ¹ parentesi ed ottenere il risultato finale.

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