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Esercizi svolti: la divisione di numeri naturali

Come abbiamo fatto per la sottrazione, ci chiediamo adesso se, effettuata una operazione di moltiplicazione, sia possibile definire (trovare) una operazione che ci faccia tornare indietro al valore iniziale. Anche per la moltiplicazione è possibile definire questa operazione, che viene chiamata divisione, con due limitazioni che vedremo. Ricordiamo che in generale una operazione di questo genere (cioè che annulla o inverte l'effetto di un'altra operazione) si chiama operazione inversa.
I termini della divisione si chiamano: dividendo il numero da dividere, divisore il numero per cui dividere il dividendo, quoto o quoziente il risultato della divisione, resto l'eventuale rimanenza della divisione nel caso in cui il dividendo non sia un multiplo esatto del divisore:

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La divisione è rappresentata dal simbolo : (sono utilizzati anche i simboli / e ÷, quest'ultimo sopratutto nelle calcolatrici).
I limiti della divisione sono che il divisore deve essere diverso (≠) da 0 (questo vale per tutte le divisioni) e che il dividendo deve essere maggiore o uguale (≥) al divisore.
Per dividere i numeri naturali la tecnica più conosciuta è simile (ma non uguale) a quella dell'addizione, della sottrazione e della moltiplicazione e si chiama allo stesso modo: la divisione in colonna.

Vediamo con qualche esempio come si effettua.

Come al solito, cominciamo con un esempio semplice. Effettuiamo la divisione: 84:3. Il dividendo (84) è maggiore del divisore (3), inoltre quest'ultimo è diverso da 0; ricordate che è essenziale fare sempre questi controlli prima di procedere ad una divisione! Procediamo, impostiamo la divisione nel modo seguente:

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Troviamo il multiplo del divisore che sia uguale al primo termine del dividendo o, se questo non c'è, il maggiore tra quelli più piccoli e scriviamolo sotto il primo termine del dividendo. Ad esempio, se proviamo a moltiplicare il divisore (il 3) per tre otteniamo:

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Il risultato della moltiplicazione divisore (il "3") per tre è 9. 9 è maggiore di 8 quindi non va bene. Proviamo allora a moltiplicare il divisore per due. Adesso il risultato è 6 che è minore di 8, inoltre non ci sono multipli del divisore che siano minori del dividendo e maggiori di 6, come abbiamo già verificato. Scriviamo allora il due ed il sei nella maniera seguente:

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Conviene indicare il termine del dividendo che stiamo considerando con un cappelletto, com'è uso comune. Effettuiamo, adesso, la sottrazione del termine del dividendo considerato con il risultato della moltiplicazione del divisore (3) per 2, cioè 8-6:

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Il risultato è 2 che, notate, è più piccolo del divisore come deve essere. Adesso abbassiamo il termine successivo del dividendo (il 4) ed allineiamolo al 2.

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Ripetiamo l'operazione precedente con il numero ottenuto, cioè con il 24. Troviamo il multiplo del divisore che sia uguale o minore di 24. È facile vedere che è esattamente 24 moltiplicando il divisore per 8:

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Effettuando la sottrazione, come sopra, otteniamo come resto 0:

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Il risultato della divisione è: 84:3=28 con resto 0. Il fatto che il resto è 0 indica che 84 è esattamente un multiplo di 3.
Vediamo cosa succede se il dividendo non è esattamente un multiplo del divisore. Effettuiamo la divisione: 82:3. Il dividendo (82) è maggiore del divisore (3), inoltre quest'ultimo è diverso da 0, quindi possiamo procedere. Impostiamo la divisione come sopra:

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Procediamo con il primo termine del dividendo esattamente come prima:

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Abbassiamo, adesso, il secondo termine del dividendo:

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Cerchiamo il multiplo del divisore che sia uguale o minore di 22. Se proviamo a moltiplicare il divisore (3) per 8 vediamo che il risultato, 24, è maggiore di 22. Moltiplichiamo, allora, il divisore per 7. Il risultato è 21 che è minore di 22; scriviamolo sotto 22 allineandolo:

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Effettuiamo la sottrazione. Il risultato è 1. 1 è minore di 3 quindi non possiamo procedere oltre:

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Il risultato della divisione è: 82:3=27 con resto 1. Il fatto che il resto è 1 indica che 82 non è un multiplo esatto di 3.

Facciamo un esempio un po' più complesso: effettuiamo la divisione: 252:7. Il dividendo (252) è maggiore del divisore (7), inoltre quest'ultimo è diverso da 0; quindi procediamo:

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Consideriamo il primo termine del dividendo da sinistra, cioè il 2 (centinaia); questo è più piccolo del divisore (il 7) quindi non possiamo procedere:

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Prendiamo allora i primi due termini, sempre da sinistra, cioè il 25. Come prima, cerchiamo il multiplo del divisore che sia uguale ai termini del dividendo selezionati (il 25) o, se questo non c'è, il maggiore tra quelli più piccoli e scriviamolo sotto i termini del dividendo selezionati allineandoli a partire da destra:

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Il valore cercato è 21, ottenuto moltiplicando il divisore per 3; infatti se moltiplichiamo il divisore per 4 otteniamo 28 che è maggiore di 25. Scriviamo il 3 nel settore del quoto allineandolo a sinistra ed effettuiamo la sottrazione:

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Il risultato è 4. Abbassiamo il termine successivo, che è anche l'ultimo, del dividendo allineandolo al 4:

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Consideriamo adesso il numero ottenuto: 42 (ricordiamo che gli 0 a sinistra di un numero naturale possono essere ignorati, se non sono preceduti da nessun altro numero diverso da 0). Cerchiamo ancora una volta il multiplo del divisore che sia uguale a 42 o il maggiore tra quelli più piccoli e scriviamolo sotto il 42 allineandoli a partire da destra:

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Vediamo che, se moltiplichiamo il divisore per 6, otteniamo esattamente 42, scriviamo il 6 a destra del 3 e procediamo:

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Il resto è quindi 0 ed il risultato della divisione è esattamente: 252:7=36 con resto 0.

Rifacciamo l'esempio con un dividendo leggermente differente che non è un multiplo esatto del divisore: 255 e procediamo come già sappiamo:
divisioni divisioni divisioni
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Il resto in questo caso è 3 ed il risultato della divisione è sempre: 255:7=36 ma con resto 3. Quindi 255 non è un multiplo di 7.

Facciamo un'ultima coppia di esempi con un divisore a due cifre: 20562:23. Il procedimento resta lo stesso ma, naturalmente, essendo il divisore a due cifre, è inutile partire considerando solo la prima cifra a sinistra del dividendo. Si comincia considerando le prime due cifre a sinistra del dividendo e si procede. Per dividere numeri più grandi si segue lo stesso procedimento:
divisioni divisioni divisioni
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Il resto è quindi 0 ed il risultato della divisione è esattamente: 20562:23=894 con resto 0.

Rifacciamo l'esempio con un dividendo che non è un multiplo esatto del divisore: 20561 e procediamo come già sappiamo:
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divisioni divisioni divisioni
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Il resto in questo caso è 22 ed il risultato della divisione è: 20561:23=893 con resto 22. Quindi 20561 non è un multiplo di 23.

Nelle pagine seguenti sono presentati una serie di esercizi sulle divisioni che comprendono anche le addizioni, le sottrazioni e le moltiplicazioni in forma di espressioni.

Nella risoluzione delle espressioni non vengono utilizzate le varie proprietà della divisione e della moltiplicazione (cosa che verrà fatta in altre sezioni) ma la successione standard di passi. Ricordarsi che è necessario eseguire le operazioni nel giusto ordine per non trovarsi di fronte a numeri negativi che non sono ammessi nella risoluzione nell'ambito dei numeri naturali neanche come passaggio. Ricordiamo a chi vuole esercitarsi nella risoluzione delle espressioni che le regole basi sono: se l'espressione è:

divisioni_naturali_passo0

1) risolvere prima le operazioni all'interno delle parentesi tonde;

divisioni_naturali_passo0

divisioni_naturali_passo1

2) eliminare le parentesi tonde tenendo conto dei segni;

divisioni_naturali_passo2

3) risolvere le operazioni all'interno delle parentesi quadrate;

divisioni_naturali_passo3

4) eliminare le parentesi quadrate tenendo conto dei segni;

divisioni_naturali_passo4

5) ripetere i passi 1) e 2) anche per le parentesi graffe;

divisioni_naturali_passo5

6) risolvere le operazioni rimaste in cui non compaiono più parentesi ed ottenere il risultato finale.

divisioni_naturali_passo6

divisioni_naturali_passo7

Per informazioni, consigli od altro scriveteci :-)!