I Numeri Naturali

Il concetto di numero è considerato un concetto primitivo, cioè non rimandabile a concetti più semplici. La sua origine è legata, probabilmente, all'atto del contare. I "numeri naturali", così chiamati perché legati al concetto primitivo di numero, erano rappresentati in origine dalla successione 1, 2, 3, 4, …. Successivamente, per motivi teorici (elemento neutro rispetto alla somma e sottrazione), venne aggiunto lo zero: 0, 1, 2, 3, 4, ….
In matematica si usa il simbolo N (a volte scritto come ℵ) per indicare la classe dei numeri naturali che iniziano da 1 (ma non sempre, purtroppo). Per mettere in evidenza che l'insieme contiene lo 0 si usano anche le scritture N0, ℵ0.
Nella maggior parte della letteratura matematica contemporanea, e nelle voci qui presenti, si assume che l'insieme dei numeri naturali contenga anche lo zero: ℵ0 = 0, 1, 2, 3, 4, ….
Questi sono i primi numeri che si imparano da bambini e sono i più semplici da comprendere. I numeri naturali hanno due scopi principali: possono essere usati per contare ("ci sono 3 mele sul tavolo"), o per definire un ordinamento ("questa è la terza città più grande del Paese").

La più rigorosa definizione e costruzione dei numeri naturali si deve a Giuseppe Peano tramite i famosi
Assiomi di Peano:
  • - Esiste un numero naturale, 0.
  • - Ogni numero naturale a ha un numero naturale successore, denotato come S(a).
  • - Non esiste un numero naturale il cui successore è 0.
  • - Numeri naturali distinti hanno successori pure distinti: se a ≠ b, allora S(a) ≠ S(b).
  • - Se una proprietà P è posseduta dallo 0 ed è posseduta anche dal successore di ogni numero naturale che possiede la proprietà P, allora la proprietà P è posseduta da tutti i numeri naturali. (Questo postulato è noto anche come principio di induzione.)
Bisogna notare che lo "0", nella definizione sopra descritta, non deve necessariamente corrispondere con quello che si considera normalmente il numero zero. "0" significa semplicemente un oggetto che, quando combinato con una funzione successiva appropriata, soddisfa gli assiomi di Peano. Ci sono molti sistemi che soddisfano questi assiomi, inclusi i numeri naturali (sia che partano da zero che da uno).
(Tratto da wikipedia)

I numeri naturali possono essere sommati e moltiplicati e il risultato rimane un numero naturale. La differenza (cioè il risultato di una sottrazione) di due numeri naturali non è però un numero naturale in generale: i matematici esprimono questo fatto dicendo che ℵ0 è chiuso rispetto alla somma ed alla moltiplicazione ma non rispetto alla sottrazione (nè alla divisione).

Proprietà algebriche

ℵ è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e di moltiplicazione, cioè la somma o il prodotto di due naturali è un naturale. ℵ non è chiuso rispetto alle operazioni di sottrazione e divisione, poiché la differenza di due naturali (per esempio 1-2) ed il quoziente di due naturali (per esempio 1/2) non sono necessariamente un numero naturale.
La tabella seguente elenca alcune delle proprietà di base dell'addizione e della moltiplicazione per ogni naturale a, b e c.
addizionemoltiplicazione
chiusura:a + b è un naturalea × b è un naturale
proprietà associativa:a + (b + c) = (a + b) + ca × (b × c) = (a × b) × c
proprietà commutativa:a + b = b + a a × b = b × a
esistenza dell'elemento neutro:a + 0 = a a × 1 = a
proprietà distributiva:a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Per informazioni, consigli od altro scriveteci :-)!