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Esercizi svolti: la moltiplicazione di numeri naturali

La moltiplicazione è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica. È un modo sintetico per rappresentare la somma di numeri uguali. Il risultato di una moltiplicazione è chiamato prodotto mentre i due numeri moltiplicati sono detti fattori se considerati insieme e, rispettivamente, moltiplicando e moltiplicatore se presi individualmente.



Per moltiplicare i numeri naturali la tecnica più conosciuta è simile, ma non uguale, a quella dell'addizione e della sottrazione: la moltiplicazione in colonna.

Vediamo con qualche esempio come si effettua.

Cominciamo con un esempio semplice. Moltiplichiamo 24 per 7. Scriviamo il primo numero e sotto di esso il secondo numero allineandoli partendo da destra, cioè dalle unità, così (anche se per le moltiplicazioni l'allineamento non è necessario è sempre utile in matematica essere ordinati!):



moltiplichiamo le unità del moltiplicando (il 4) per il moltiplicatore (il 7); il risultato è 28:



scriviamo l'8 nella colonna delle unità e segniamo a parte (meglio se lo si tiene a mente) il 2 delle decine:



moltiplichiamo adesso le decine del moltiplicando (il 2) per il moltiplicatore (il 7); il risultato è 14 e sommiamo le decine che avevamo segnato:



scriviamo il risultato in ordine. Il risultato finale è: 24×7=168.



Passiamo adesso ad un esempio più complesso. Effettuiamo la moltiplicazione: 3167×57. Ricordiamo, prima, che nel sistema decimale 57 rappresenta il numero che si ottiene addizionando 5 decine a 7 unità, cioè 57=50+7. La moltiplicazione che stiamo per effettuare si può scrivere anche come: 3167×(7+50). È importante ricordarlo per capire il procedimento.
Come prima, scriviamo il primo numero e sotto di esso il secondo numero allineandoli partendo da destra, cioè dalle unità, così:



Effettuiamo la moltiplicazione del moltiplicando (3167) per le unità del moltiplicatore (7) procedendo come nell'esempio precedente: Procediamo adesso a moltiplicare il moltiplicando (3167) per le decine del moltiplicatore (5). Prima di procedere ricordiamo che il prodotto di un multiplo di 10 per qualsiasi altro Numero Naturale ha come risultato un multiplo di 10, cioè un numero che termina con lo 0. Ad esempio 10×3=30, 10×37=370, 30×7=210, ecc. Quindi per moltiplicare un multiplo di 10 per qualsiasi altro numero possiamo scrivere subito lo 0 nella colonna delle unità ed occuparci solo di moltiplicare il multiplo di 10 senza lo 0 per l'altro numero. Ad esempio, riferendoci agli esempî precedenti: 1 (decina) ×3=3 (decine) che, aggiungendo lo 0 finale diventa 30, 1×37=37 che, aggiungendo lo 0 finale diventa 370, 3×7=21 che, aggiungendo lo 0 finale diventa 210, ecc.
Cominciamo con l'inserire uno 0 nella colonna delle unità sotto la riga del risultato appena ottenuto, quindi effettuiamo la moltiplicazione del moltiplicando per le decine del moltiplicatore (in questo caso il 5), ricordandoci di allineare correttamente in colonna il risultato:
(Al posto degli 0 è possibile trovare dei -, così: tuttavia sono personalmente contrario al loro uso perché nascondono il reale significato delle operazioni che si compiono.)

Quello che abbiamo fatto è solo applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. Infatti, 3167×57=3167×(7+50)=3167×7+3167×50=22169+158350. Passiamo adesso ad effettuare l'addizione per trovare il risultato finale: Abbiamo ottenuto il risultato:3167×57=3167×(7+50) = 3167×7+3167×50=22169+158350=180519.
Sappiamo dalla teoria che la moltiplicazione gode della proprietà commutativa cioè, riferendoci all'esempio precedente, che 3167×57=57×3167. Verifichiamolo, scriviamo il moltiplicatore come: 3167=7+60+100+3000, effettuiamo la moltiplicazione: 57×3167=57×(7+60+100+3000)=57×7+57×60+57×100+57×3000 e calcoliamola, come prima, tramite il metodo a colonna:

Il risultato finale, come c'era da aspettarsi, è uguale al precedente. Notate che sono cambiati il numero di righe ed il valore di ciascun risultato intermedio. In questo caso il numero di righe è aumentato ma ciascun passo intermedio è più semplice. Consideratelo quando dovete effettuare una moltiplicazione e scegliete quello che vi viene meglio.
Ci si potrebbe chiedere se è importante iniziare le operazioni dalle unità (in questo caso il 7) piuttosto che dalle decine (il 6), le centinaia (il 1) o le migliaia (il 3). La risposta è no. Infatti, per la proprietà commutativa di cui gode l'addizione 7+60+100+3000 è uguale, ad esempio, a 100+7+60+3000 ma anche a qualsiasi scambio degli addendi possibile. L'importante è ricordarsi che il 7 sono unità, il 6 sono decine (6×10=60), l'1 sono centinaia (1×100=100) ed il 3 sono migliaia (3×1000=3000), quindi vanno inseriti gli 0 nelle colonne opportune. Proviamo allora con 100+7+60+3000: Come si vede anche in questo caso il risultato è lo stesso ma, come potete ben vedere, il tutto è più confuso; questo può facilmente causare errori di distrazione.
Ricordate sempre che nelle materie scientifiche l'ordine è di essenziale importanza per evitare confusione ed errori!

Nelle pagine seguenti sono presentati una serie di esercizi sulle moltiplicazioni che comprendono anche le sottrazioni e le addizioni in forma di espressioni.

Nella risoluzione delle espressioni non vengono utilizzate le varie proprietà della moltiplicazione (cosa che verrà fatta in altra sezione) ma la successione standard di passi. Ricordarsi che è necessario eseguire le operazioni nel giusto ordine per non trovarsi di fronte a numeri negativi che non sono ammessi nella risoluzione nell'ambito dei numeri naturali neanche come passaggio. Ricordiamo a chi vuole esercitarsi nella risoluzione delle espressioni che le regole basi sono: se l'espressione è:



1) risolvere prima le operazioni all'interno delle parentesi tonde;





2) eliminare le parentesi tonde tenendo conto dei segni (in questo caso specifico essendoci solo somme l'operazione è banale);



3) risolvere le operazioni all'interno delle parentesi quadrate;



4) eliminare le parentesi quadrate tenendo conto dei segni (stesse considerazioni del punto 2);



5) ripetere i passi 1) e 2) anche per le parentesi graffe;





6) risolvere le operazioni rimaste in cui non compaiono più parentesi ed ottenere il risultato finale.