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Esercizi svolti: la sottrazione di numeri naturali

Nella pagina dedicata all'addizione di numeri naturali abbiamo visto che questa è la più semplice e naturale delle operazioni. Ci chiediamo adesso se, effettuata una operazione di addizione, sia possibile definire (trovare) una operazione che ci faccia tornare indietro al valore iniziale. Definire questa operazione è possibile, con una limitazione che vedremo. In generale una operazione di questo genere (cioè che annulla o inverte l'effetto di un'altra operazione) si chiama operazione inversa.

In particolare l'operazione inversa dell'addizione si chiama sottrazione ed è indicata dal simbolo -. Poiché stiamo considerando la classe ℵ0 il limite della sottrazione è che il diminuendo deve essere maggiore o uguale (≥) al sottraendo.

Per sottrarre i numeri naturali la tecnica più conosciuta è la stessa dell'addizione: la sottrazione in colonna.
Nella sottrazione in colonna gli elementi della sottrazione sono disposti in maniera simile all'addizione in colonna come mostrato nell'esempio seguente:

La sottrazione di numeri naturali

Vediamo con qualche esempio come si effettua.

Consideriamo la sottrazione: 5894-757. Scriviamo il primo numero e sotto di esso il secondo numero allineandoli partendo da destra, cioè dalle unità, così:

La sottrazione di numeri naturali

Se proviamo a sottrarre il secondo numero dal primo nella colonna delle unità ci accorgiamo che non è possibile perché il primo numero è più piccolo del secondo.

La sottrazione di numeri naturali

Per procedere ci facciamo allora prestare una decina dal primo numero della colonna delle decine, così: segniamo sopra la colonna delle decine -1 per ricordarci che dobbiamo sottrarre la decina prestata e segniamo +10 sopra la colonna delle unità (ricordiamoci che una decina è uguale a dieci unità)

La sottrazione di numeri naturali

A questo punto possiamo effettuare l'operazione nella colonna delle unità: 4 più la decina prestata fa 14, meno 7 uguale a 7

La sottrazione di numeri naturali

Passiamo alla colonna delle decine. 9 meno la decina prestata fa 8, meno 5 uguale a 3.

La sottrazione di numeri naturali

Passiamo alla colonna delle centinaia. 8 è più grande di 7 quindi possiamo procedere normalmente: 8 meno 7 uguale a 1.

La sottrazione di numeri naturali

Infine passiamo alla colonna delle migliaia: 5 meno niente (equivalente a 0) uguale a 5.

La sottrazione di numeri naturali

Otteniamo così il che risultato della sottrazione è: 5894-757=5137.

Facciamo adesso un esempio un po' più complesso.

La sottrazione di numeri naturali

La colonna delle unità è uguale a quella dell'esempio precedente: il primo numero è più piccolo del secondo quindi abbiamo bisogno di farci prestare una decina dal primo numero della colonna delle decine. Procediamo, quindi, come come abbiamo fatto sopra:

La sottrazione di numeri naturali

La sottrazione di numeri naturali

La sottrazione di numeri naturali

Fino a qui tutto è andato come nell'esempio precedente. Quando passiamo alla colonna delle decine, però, ci accorgiamo che sorge un problema: il minuendo (in questo caso lo zero) è più piccolo del prestito fatto! Non possiamo sottrarre 1 allo 0.

La sottrazione di numeri naturali

Per procedere abbiamo bisogno di farci prestare un centinaio dalla colonna delle centinaia, ricordandoci che un centinaio equivale a dieci decine! Segniamo sopra la colonna delle centinaia -1 per ricordarci che dobbiamo sottrarre il centinaio prestato e segniamo +10 sopra la colonna delle decine:

La sottrazione di numeri naturali

Adesso possiamo procedere con le operazioni sulla colonna delle decine. Aggiungiamo alle decine del minuendo (lo 0) la decina prestata dalla colonna delle centinaia del minuendo: 0+10=10, quindi sottraiamo l'unità (di decine) prestata al minuendo delle unità: 10-1=9 ed infine sottraiamo il sottraendo (il 5): 9-5=4.

La sottrazione di numeri naturali

Procediamo adesso con la colonna delle centinaia in modo simile a come abbiamo già fatto con la colonna delle decine dell'esempio precedente: 8 meno il centinaio prestato fa 7, meno 7 uguale a 0.

La sottrazione di numeri naturali

Infine effettuiamo la sottrazione nella colonna delle migliaia che è semplicemente: 5 meno niente (che è equivalente a 0) uguale 5.

La sottrazione di numeri naturali

Il risultato è quindi: 5804-757=5047.

Terminiamo gli esempi con una sottrazione doppia

Per effettuare una sottrazione multipla nella classe dei Numeri Naturali il minuendo deve essere maggiore o uguale alla somma dei sottraendi; in caso contrario si arriverà ad un punto in cui non sarà possibile continuare.
Effettuiamo la sottrazione 6975-5894-787.

La sottrazione di numeri naturali

Come al solito, cominciamo con la colonna delle unità; la prima sottrazione è semplice 5-4=1 ma quando cerchiamo di effettuare la seconda, ci accorgiamo non possiamo procedere perché 1 è minore di 7.

La sottrazione di numeri naturali

Come negli esempi precedenti, ci facciamo prestare una decina dalla colonna delle decine:

La sottrazione di numeri naturali

Effettuiamo le operazioni sulla colonna delle unità: 5+10=15, 15-4=11 ed infine 11-7=4.

La sottrazione di numeri naturali

Passiamo alla colonna delle decine. 7 meno la decina prestata: 7-1=6. Ci accorgiamo subito che non possiamo proseguire perché 6 è minore di 9.

La sottrazione di numeri naturali

Facciamoci prestare un centinaio (cioè dieci decine) dalla colonna delle centinaia.

La sottrazione di numeri naturali

Procediamo con le operazioni sulla colonna delle decine: 7 più 10 prestati: 7+10=17; 17 meno la decina prestata alla colonna delle unità: 17-1=16; 16 meno il primo sottraendo (9): 16-9=7; ma 7 è minore del secondo sottraendo (8)!

La sottrazione di numeri naturali

Esserci fatti prestare un centinaio (dieci decine) dalla colonna delle centinaia non è stato sufficiente, proviamo allora a farcene prestare due centinaia (venti decine): segniamo -2 sopra la colonna delle centinaia per ricordarci che dobbiamo sottrarli dal minuendo delle centinaia perché prestati alla colonna delle decine, e segniamo +20 sopra la colonna delle decine.

La sottrazione di numeri naturali

Effettuiamo nuovamente i calcoli sulla colonna delle decine: 7 più 20 prestati: 7+20=27; 27 meno la decina prestata alla colonna delle unità: 27-1=26; 26 meno il primo sottraendo (9): 26-9=17; e, finalmente, 17 meno il secondo sottraendo (8): 17-8=9.

La sottrazione di numeri naturali

Passiamo alla colonna delle centinaia. 9 meno le due centinaia prestate: 9-2=7; ancora una volta ci troviamo al punto di non poter continuare perché 7 è minore di 8.

La sottrazione di numeri naturali

Come al solito facciamoci prestare un migliaio (dieci centinaia) dalla colonna delle migliaia:

La sottrazione di numeri naturali

Effettuiamo i calcoli sulla colonna delle centinaia. 9 più la decina (di centinaia) prestata: 9+10=19, 19 meno le due decine (di decine) prestate: 19-2=17; 17 meno il primo sottraendo (8): 17-8=9; e, finalmente, 9 meno il secondo sottraendo (7): 9-7=2.

La sottrazione di numeri naturali

Finalmente passiamo alla colonna delle migliaia. 6 meno la decina prestata alla colonna delle centinaia: 6-1=5; 5 meno il primo sottraendo (5): 5-5=0; e, finalmente, 0 meno il secondo sottraendo che equivale a0: 0-0=0.

La sottrazione di numeri naturali

Il risultato è quindi: 6975-5894-787=294.

Nelle pagine seguenti sono presentati una serie di esercizi sulle sottrazioni unite alle addizioni in forma di espressioni.

Diversamente dal caso della semplice addizione la risoluzione di una espressione di numeri naturali con sottrazioni richiede un minimo di attenzione: è necessario eseguire le operazioni nel giusto ordine per non trovarsi di fronte a numeri negativi che non sono ammessi nella risoluzione nell'ambito dei numeri naturali neanche come passaggio.

Ricordiamo a chi vuole esercitarsi nella risoluzione delle espressioni che le regole basi sono:
se l'espressione è:

sottrazioni_naturali_espressione_000001_soluzione

1) risolvere prima le operazioni all'interno delle parentesi tonde;

sottrazioni_naturali_espressione_000001_soluzione_passo2 sottrazioni_naturali_espressione_000001_soluzione_passo2

2) eliminare le parentesi tonde;

sottrazioni_naturali_espressione_000001_soluzione_passo2 3) risolvere le operazioni all'interno delle parentesi quadrate;

sottrazioni_naturali_espressione_000001_soluzione_passo3 4) eliminare le parentesi quadrate;

sottrazioni_naturali_espressione_000001_soluzione_passo4 5) ripetere i passi 1) e 2) anche per le parentesi graffe;

sottrazioni_naturali_espressione_000001_soluzione_passo5 6) risolvere le operazioni rimaste in cui non compaiono più parentesi ed ottenere il risultato finale.

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