Le potenze dei Numeri Interi o Relativi

Nella pagina dedicata alle potenze dei Numeri Naturali è stata trattata la definizione di potenza. La definizione è valida anche per i Numeri Interi o Relativi, qui vedremo degli esempi pratici e cerchiamo di chiarire alcuni punti che possono confondere chi studia le potenze per la prima volta o necessita di un ripasso.
Partiamo dalla definizione generale di potenza:
definizione di potenza
I termini i possono essere anche numeri negativi, ad esempio -3. Ricordiamo che in questo caso il - non rappresenta l'operazione di sottrazione ma è il segno del numero. In un certo senso si può dire che fa parte integrante del numero: -3 è un numero differente da 3!
(A volte si usano per il segno e l'operazione due simboli leggermente diversi, la differenza essendo solo una diversa lunghezza dei simboli: il simbolo che rappresenta il segno è, solitamente, leggermente più corto di quello che rappresenta la sottrazione. Dato che a volte, sopratutto sul Web, i simboli vengono visualizzati in modo differente dai browser, qui verrà utilizzato lo stesso simbolo per entrambi.)
Per evitare confusione quando si usano numeri negativi all'interno di operazioni li si racchiude dentro parentesi tonde, così:
definizione di potenza, definizione di potenza.
È sempre possibile, comunque, trasformare potenze di numeri negativi in potenze di numeri positivi. Per vedere come, iniziamo dall'esempio precedente (in questo caso usiamo l'espressione precedente come equazione e non come definizione):
definizione di potenza
Modifichiamo il primo membro dell'equazione rappresentando i numeri negativi come moltiplicazione di -1 e dei numeri presi come positivi (il loro valore assoluto):
definizione di potenza
usiamo la proprietà associativa della moltiplicazione per isolare i -1:
definizione di potenza
adesso usiamo la proprietà commutativa della moltiplicazione per raggruppare i -1:
definizione di potenza
moltiplichiamo i -1 ed otteniamo 1 (per i particolari vedi la pagina dedicata alla moltiplicazione dei Numeri Interi). Restiamo con la moltiplicazione dei due 3 che possiamo esprimere come potenza:
definizione di potenza
Quindi, svolgendo il primo membro dell'equazione, abbiamo ottenuto:
definizione di potenza
Confrontando il risultato con l'equazione originaria:
definizione di potenza
otteniamo:
definizione di potenza
Svolgiamo la stessa analisi su quest'altra equazione:
definizione di potenza
l'analisi procede in maniera simile alla precedente fino al raggruppamento dei -1:
definizione di potenza
moltiplichiamo i -1, stavolta otteniamo -1 (per i particolari vedi la pagina dedicata alla moltiplicazione dei Numeri Interi). Esprimiamo la moltiplicazione dei tre 3 come potenza, otteniamo:
definizione di potenza
Quindi, svolgendo il primo membro dell'equazione, abbiamo ottenuto:
definizione di potenza
Se confrontiamo il risultato con l'equazione originaria otteniamo:
definizione di potenza
Cioè il numero negativo -3 elevato alla 3 è uguale al numero positivo 3 elevato anch'esso alla 3 con il segno meno davanti. Possiamo generalizzare i risultati ottenuti: per qualunque numero intero i e qualunque Numero Naturale n ≥ 1:
definizione di potenza (2n è sempre un numero pari: 2, 4, ...)
definizione di potenza (2n-1 è sempre un numero dispari 1, 3, ...)
Ricapitolando: un numero negativo elevato ad una potenza pari (cioè con esponente pari) è uguale al suo valore assoluto (cioè il numero senza segno) elevato alla stessa potenza mentre un numero negativo elevato ad una potenza dispari (cioè con esponente dispari) è uguale al suo valore assoluto elevato alla stessa potenza con il segno meno davanti; quindi un numero negativo elevato ad una potenza pari è un numero positivo mentre un numero negativo elevato ad una potenza dispari è un numero negativo.

Le operazioni con le potenze

Le operazioni con le potenze dei Numeri Interi o Relativi sono le stesse di quelle con le potenze dei Numeri Naturali, a cui rinviamo.
Per informazioni, consigli od altro scriveteci :-)!