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Il Massimo Comune Divisore e il minimo comune multiplo

In questa pagina presenteremo le definizioni di e gli esercizi su: il Massimo Comune DivisoreMCD(a,b, ...) ) e il minimo comune multiplomcm(a,b, ...) ) di due o più numeri interi. Li presentiamo assieme perché i metodi che useremo per trovarli utilizzano entrambi la scomposizione in fattori primi, e sono molto simili, anche se non uguali, tra loro.

Cominciamo citando la definizione di Massimo Comune Divisore:
il Massimo Comune Divisore di due numeri interi a e b che non siano entrambi uguali a zero, si indica con MCD(a,b) ed è il numero naturale più grande per il quale possono entrambi essere divisi. Se entrambi i numeri a e b sono uguali a 0, allora si pone MCD(a,b)=0. [Cit. Wikipedia]
e di minimo comune multiplo:
In matematica il minimo comune multiplo di due o più numeri interi a e b, indicato con mcm(a,b), รจ il più piccolo intero positivo multiplo sia di a sia di b. Se a=0 o b=0, allora mcm(a,b) è uguale a zero. [Cit. Wikipedia]
fornite da Wikipedia.

Il metodo diretto

Facciamo un esempio semplice di Massimo Comune Divisore di due numeri. Valutiamo il Massimo Comune Divisore dei numeri 6 e 8 che si scrive così MCD(6, 8).
Il 6 è divisibile per 2, per 3 e per 6; l'8 è divisibile per 2 per 4 e per 8 (come avrete notato, non si considera tra i divisori l'1, comune a tutti i numeri). Abbiamo quindi che Il 6 e l'8 hanno un solo divisore in comune, il 2 che, essendo l'unico è anche il massimo. Scriviamo allora: MCD(6, 8)=2.

Facciamo un esempio un poco più complesso di Massimo Comune Divisore di due numeri. Valutiamo il Massimo Comune Divisore dei numeri 12 e 18 che si scrive così MCD(12, 18).
Il 12 è divisibile per 2, per 3, per 4, per 6 e per 12; il18 è divisibile per 2, per 3, per 6 e per 9 (come prima, non si considera tra i divisori l'1). Abbiamo quindi che Il 12 e il 18 hanno come divisori in comune il 2, il 3 ed il 6. Tra i divisori comuni quello massimo, cioè il più grande, è il 6. Scriviamo allora: MCD(12, 18)=6.

Infine facciamo un esempio di Massimo Comune Divisore di tre numeri. Valutiamo il Massimo Comune Divisore dei numeri 12, 18 (che abbiamo visto sopra) e 20 che si scrive così MCD(12, 18, 20) (l'ordine con cui si scrivono i numeri non è importante, così possiamo scrivere anche MCD(18, 20, 12) ma ricordiamoci che in matematica l'ordine è sempre utile!).
Abbiamo già visto che il 12 è divisibile per 2, per 3, per 4, per 6 e per 12 e che il 18 è divisibile per 2, per 3, per 6 e per 9; il 20 è divisibile per 2, per 4, per 5 e per 10. Abbiamo quindi che Il 12, il 18 e il 20 hanno come divisori in comune solo il 2, che è anche il massimo. Scriviamo allora: MCD(12, 18, 20)=2.

Calcoliamo adesso il minimo comune multiplo delle stesse coppie di numeri e della tripla di cui abbiamo calcolato il Massimo Comune Divisore.

Cominciamo con il minimo comune multiplo di 6 e 8 che si scrive: mcm(6, 8).
Procediamo trovando i multipli del numero più grande, in questo caso l'8, cominciando dal più piccolo cioè 8×2=16 e proseguendo con quelli via via più grandi, e verificando se sono multipli anche del più piccolo.
Il primo multiplo di 8 abbiamo visto che è 16. 16 è divisibile per 6? No, quindi non ne è un multiplo. Procediamo con il multiplo di 8 successivo: 8×3=24. 24 è divisibile per 6? Si, 24:6=4.
Abbiamo trovato il minimo comune multiplo di 6 e 8 e si scrive: mcm(6, 8)=24. Siamo sicuri che è il più piccolo perché non ci sono multipli di 8 più piccoli che dividano anche il 6, lo abbiamo già verificato durante il procedimento.
Possiamo fare una verifica procedendo a calcolare i multipli di 6, invece che di 8, e verificando se sono divisibili per 8.
Il primo multiplo di 6 è 6×2=12. 12 è divisibile per 8? No, quindi non ne è un multiplo. Procediamo con il multiplo di 6 successivo: 6×3=18. 18 è divisibile per 8? No, quindi neanche 18 è un multiplo di 8. Procediamo con il multiplo di 6 successivo: 6×4=24. 24 è divisibile per 8? Si, 24:8=3 quindi abbiamo verificato che 24 è il minimo comune multiplo di 6 e 8: mcm(6, 8)=24.

Calcoliamo il minimo comune multiplo di 12 e 18 che si scrive: mcm(12, 18).
Stavolta procediamo trovando i multipli del numero più piccolo, in questo caso l'12 e verificando se sono multipli anche del più grande.
Il primo multiplo di 12 abbiamo visto che è 24. 24 è divisibile per 18? No, quindi non ne è un multiplo. Procediamo con il multiplo di 12 successivo: 12×3=36. 36 è divisibile per 18? Si, 36:18=2.
Abbiamo trovato che il minimo comune multiplo di 12 e 18 è: mcm(12, 18)=36.
Facciamo la verifica calcolando i multipli di 18, invece che di 12, e verificando se sono divisibili per 12.
Il primo multiplo di 18 è 18×2=36. 36 è divisibile per 12? Si, 36:12=3 quindi abbiamo verificato che 36 è il minimo comune multiplo di 12 e 18: mcm(12, 18)=36.

Calcoliamo il minimo comune multiplo di 12, 18 e 20 che si scrive: mcm(12, 18, 20).
Stavolta procediamo trovando i multipli del numero medio, in questo caso l'18 e verificando se sono multipli anche degli altri due.
Il primo multiplo di 18 è 18×2=36. 36 è divisibile per 12? Si, 36:12=3 quindi 36 è anche un multiplo di 12 (come sapevamo già). Ma per essere il minimo comune multiplo 36 deve essere multiplo anche di 29. Lo è? No, quindi non va bene. Procediamo con il multiplo di 18 successivo: 18×3=54. 54 è divisibile per 12? No, quindi non va bene.
Continuando di questo passo si arriva a 18×10=180. 180 è divisibile per 12? Si, 180:12=15. 180 è divisibile per 20? Si, 180:20=9.
Abbiamo trovato che il minimo comune multiplo di 12, 18 e 20 è: mcm(12, 18, 20)=180.
Evitiamo in questo caso di fare la verifica che porterebbe via molto tempo. Piuttosto notate che abbiamo saltato ben sei passaggi ed i numeri di cui abbiamo calcolato il minimo comune multiplo non sono molto grandi.

Per il calcolo del MCD e del mcm di numeri più grandi e/o per più numeri (del tipo mcm(a,b,c,...), MCD(a,b,c,...) ) il tempo di calcolo cresce in modo inaccettabile. È necessario trovare se c'è una procedura che ci semplifichi il calcolo di queste due grandezze. Il metodo c'è ed utilizza la scomposizione in fattori primi. È l'argomento della prossima sezione.

Il calcolo del MCD e del mcm tramite la scomposizione in fattori primi

Per una trattazione più completa della scomposizione in fattori primi visitate questa pagina

Come si è visto sopra, trovare il Massimo Comune Divisore ed il minimo comune multiplo può diventare una operazione lunga e tediosa. Per fortuna c'è un modo per trovarli che semplifica di molto le operazioni.

Per arrivarci gradualmente torniamo ad analizzare il primo esempio. Facciamo la scomposizione in fattori primi di 6: 6=2×3; e di 8: 8=2×2×2=23. Notiamo che qualsiasi moltiplicazione dei fattori di una scomposizione in fattori primi porta ad un divisore del numero scomposto così, ad esempio, l'8 è divisibile per 2 e per 2×2=4. Facciamo anche la scomposizione in fattori primi del MCD e del mcm di 6 e di 8: il MCD(6, 8)=2, 2 è primo e quindi è già scomposto; Il mcm(6, 8)=24, la scomposizione in fattori primi di 24 è: 24=23×3.
Confrontiamo le scomposizioni in fattori primi dei numeri di cui calcolare il MCD ed in mcm e di questi ultimi. Nel caso del MCD la scomposizione è composta dal solo 2 che è presente sia nel 6 che nell'8 con lo stesso esponente con cui è presente nel 6. Nel caso del mcm la scomposizione è composta dal 2 e dal 3; il 2 è presente sia nel 6 che nell'8 con lo stesso esponente con cui è presente nell'8, il 3 è presente solo nell'8.

Analizziamo adesso il secondo esempio. Facciamo la scomposizione in fattori primi di 12: 12=22×3; e di 18: 18=2×32. Facciamo anche la scomposizione in fattori primi del MCD e del mcm di 12 e di 18: Il MCD(12, 18)=6, la scomposizione in fattori primi di 6 è: 6=2×3; il mcm(12, 18)=36, la scomposizione in fattori primi di 36 è: 36=22×32.
Confrontiamo le scomposizioni in fattori primi dei numeri di cui calcolare il MCD ed in mcm e di questi ultimi. Nel caso del MCD la scomposizione è composta dal 2 e dal 3, entrambi sono presenti sia nel 12 che nel 18, tutti e due elevati alla prima potenza con lo stesso esponente con cui il 2 è presente nel 18 ed il 3 è presente nel 12. Nel caso del mcm la scomposizione è composta dal 2 e dal 3; sia il 2 che il 3 sono presenti nel 12 e nel 18, il 2 con lo stesso esponente con cui è presente nel 12, il 3 con lo stesso esponente con cui è presente nel 18.

Possiamo provare a trarre una prima conclusione eventualmente da verificare.
È possibile ricavare il MCD di due numeri facendone la scomposizione in fattori primi e prendendo solo i fattori presenti in entrambe le scomposizioni con l'esponente più basso.
È possibile ricavare il mcm di due numeri facendone la scomposizione in fattori primi e prendendo tutti i fattori presenti in ogni scomposizione con l'esponente più alto.

Verifichiamo la regola trovata applicandola all'esempio di MCD e di mcm con tre numeri.
Le scomposizioni di 12, 18 e 20 sono: 12=22×3, 18=2×32, 20=22×5.
Seguendo la regola ricavata sopra abbiamo che il MCD(12, 18, 20) è dato dal prodotto dei fattori comuni ai tre numeri, che è solo il 2, elevato all'esponente più piccolo con cui compare nelle scomposizioni che è 1. Il risultato è quindi MCD(12, 18, 20)=2, come abbiamo ricavato sopra.
Sempre seguendo la regola ricavata sopra abbiamo che il mcm(12, 18, 20) è dato dal prodotto di tutti i fattori presenti nelle scomposizioni (presi una volta sola) dei tre numeri, che sono il 2, il 3 ed il il 5 (il 2 presente nella scomposizione di tutti e tre i numeri; il 3 presente solo nelle prime due ed il 5 presente solo nella terza), elevati all'esponente più grande con cui compare nelle scomposizioni che sono 2 per il 2 nelle scomposizioni del primo e del terzo numero, 2 per il 3 nella scomposizione del secondo numero, 1 per il 5 nella scomposizione del terzo numero. Il risultato è quindi mcm(12, 18, 20)=22×32×5=180, come abbiamo ricavato sopra.

Esempi di esercizi svolti

Facciamo adesso due esempi commentati di svolgimento di un esercizio di calcolo di Massimo Comun Divisore e di minimo comune multiplo. Nel primo esempio tratteremo una coppia di numeri mentre nel secondo una tripla. L'estensione a casi con più di tre numeri è diretto.

Nel primo esempio calcoliamo il Massimo Comun Divisore e il minimo comune multiplo di 588 e di 2450: MCD(588, 2450), mcm(588, 2450).

Cominciamo con il ricavare la scomposizione in fattori primi di 588:

Quindi troviamo la scomposizione in fattori primi di 2450:

Come passo successivo troviamo il Massimo Comun Divisore di 588 e di 2450. Identifichiamo le basi comuni ad entrambe le scomposizioni (in questo caso il 2 ed il 7) e riportiamole, ciascuna una sola volta, moltiplicandole tra loro:

adesso troviamo, per ciascuna base, l'esponente minimo (in questo caso 1 e 2; ricordiamoci che un numero senza esponente equivale allo stesso numero elevato ad uno) ed usiamolo come esponente della base corrispondente nel Massimo Comun Divisore:

moltiplichiamo per ottenere il risultato cercato.
Passiamo adesso al minimo comune multiplo: mcm(588, 2450). Per ottenerlo stavolta bisogna prendere tutte le basi presenti nelle scomposizioni ma anche questa volta solo una volta per ciascuna:

adesso troviamo, per ciascuna base, l'esponente massimo (in questo caso rispettivamente il 2, l'1, il 2 e ancora il 2) ed usiamoli come esponente della base corrispondente nel minimo comune multiplo:

moltiplichiamo per ottenere il risultato cercato.



Nel secondo esempio calcoliamo il Massimo Comun Divisore e il minimo comune multiplo di 5880, 2772 e di 9800: MCD(5888, 2772, 9800), mcm(588, 2772, 9800).

Cominciamo con il ricavare la scomposizione in fattori primi di 5880:

Quindi troviamo la scomposizione in fattori primi di 2772:

Ed infine troviamo la scomposizione in fattori primi di 9800:

Troviamo il Massimo Comun Divisore di 5880, 2772 e di 9800. Identifichiamo le basi comuni ad entrambe le scomposizioni (anche in questo caso il 2 ed il 7) e riportiamole, ciascuna una sola volta, moltiplicandole tra loro:

adesso troviamo, per ciascuna base, l'esponente minimo (in questo caso 2 e 1 rispettivamente) ed usiamolo come esponente della base corrispondente nel Massimo Comun Divisore:

moltiplichiamo per ottenere il risultato cercato.
Passiamo adesso al minimo comune multiplo: 5880, 2772 e di 9800. Come per l'esempio precedente bisogna prendere tutte le basi presenti nelle scomposizioni ma anche questa volta solo una volta per ciascuna:

troviamo, per ciascuna base, l'esponente massimo (in questo caso rispettivamente il 3, il 2, il 2 e ancora il 2 , l'1) ed usiamoli come esponente della base corrispondente nel minimo comune multiplo:

moltiplichiamo per ottenere il risultato cercato (come potete notare, il mcm può facilmente diventare un numero molto grande).



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