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I numeri primi

Si riporta qui di seguito una sintesi dell’argomento come riportato in wikipedia.it:

In matematica, un numero primo (in breve anche primo) è un numero naturale maggiore di 1 che sia divisibile solamente per 1 e per sé stesso; al contrario, un numero maggiore di 1 che abbia più di due divisori è detto composto. Ad esempio 2, 3 e 5 sono primi mentre 4 e 6 non lo sono perché sono divisibili rispettivamente anche per 2 e per 2 e 3. L'unico numero pari primo è 2, in quanto tutti gli altri numeri pari sono divisibili per 2.

La successione dei numeri primi inizia con 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37…

Quello di numero primo è uno dei concetti basilari della teoria dei numeri, la parte della matematica che studia i numeri interi: l'importanza sta nella possibilità di costruire con essi, attraverso la moltiplicazione, tutti gli altri numeri interi, nonché l'unicità di tale fattorizzazione. I primi sono inoltre infiniti e la loro distribuzione è tuttora oggetto di molte ricerche.

I numeri primi sono oggetto di studio fin dall'antichità: i primi risultati risalgono infatti agli antichi Greci, e in particolare agli Elementi di Euclide, scritti attorno al 300 a.C. Ciononostante, numerose congetture che li riguardano non sono state ancora dimostrate; tra le più note vi sono l'ipotesi di Riemann, la congettura di Goldbach e quella dei primi gemelli, indimostrate a tutto il 2014, a più di un secolo dalla loro formulazione.

Il più piccolo numero primo è 2; tutti gli altri sono dispari, in quanto ogni numero pari è divisibile per 2. Nel passato 1 era a volte considerato un numero primo: ad esempio Derrick Norman Lehmer lo incluse nella sua tavola dei numeri primi pubblicata nel 1914. Oggi tuttavia si preferisce escluderlo, in quanto il suo inserimento tra i primi costringerebbe a riformulare in maniera più complessa diversi teoremi (come il teorema fondamentale dell'aritmetica) per tenere conto di questo caso speciale.

Un metodo per verificare se un numero n è primo si definisce test di primalità. Un metodo che discende direttamente dalla definizione è controllare che non sia diviso da nessun numero minore di n o, in modo più efficiente, da nessun primo minore di n. Ad esempio, per provare che 11 è primo, basta osservare che non è diviso da 2, 3, 5 e 7 (che sono i primi minori di 11).

L'importanza dei numeri primi in matematica è enorme e deriva essenzialmente dal teorema fondamentale dell'aritmetica, il quale asserisce che: qualsiasi numero naturale diverso da uno può essere scomposto in fattori primi, e tale scomposizione è unica a meno dell'ordine dei fattori.

Ad esempio, 23244 si fattorizza come:
23244 = 22 × 3 × 13 × 149
e ogni altra sua fattorizzazione in numeri primi è ottenuta da questa permutando i fattori. Ad esempio, l'ulteriore fattorizzazione:
23244=13 × 3 × 2 × 149 × 2
non è altro che quella precedente con i fattori scritti in un ordine diverso. A causa di questa proprietà, ci si riferisce a volte ai numeri primi come agli "atomi dell'aritmetica".

Questa è tra l'altro la ragione principale per cui 1 è escluso dall'insieme dei primi. Infatti, se si moltiplica una fattorizzazione di un numero per uno, un numero di volte a piacere, si ottiene sempre il numero di partenza, creando così fattorizzazioni distinte.

Una proprietà strettamente collegata alla fattorizzazione unica è il lemma di Euclide: se un primo p divide il prodotto ab, allora divide a o b. Questa è considerata la definizione stessa di elemento primo in un dominio d'integrità, ed è ovvia a partire dal teorema fondamentale dell'aritmetica: la fattorizzazione di ab dovrà infatti contenere il primo p, e visto che p non può essere "spezzato" in due fattori, deve necessariamente essere nella fattorizzazione di almeno uno dei due numeri.

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